সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর

 তুমি চেয়েছো "অধ্যায় ৩: বীজগাণিতিক রাশি, অনুশীলনী ৩.১" এর অঙ্কগুলো ধাপে ধাপে (step-by-step) সমাধান করে দিতে। আমরা ১ নম্বর প্রশ্ন থেকে শুরু করব।

---

প্রশ্ন ১: সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর

ক) $2a + 3b$

এখানে সূত্র প্রয়োগ করব:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

তাই,

$$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2$$

ধাপে ধাপে করি:

• $(2a)^2 = 4a^2$

• $2 \cdot 2a \cdot 3b = 12ab$

• $(3b)^2 = 9b^2$

সুতরাং,

$$(2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$$

---

তুমি চাইলে পরের প্রশ্নগুলোও একে একে এভাবে ব্যাখ্যা করব। আমি কি এখন খ) এর দিকে এগোবো?

You said:

Dao

ChatGPT said:

চল তাহলে এবার প্রশ্ন ১-এর খ) অংশ ধাপে ধাপে করি:

---

১। খ) $5x^2 - y$

আমরা ব্যবহার করব সূত্র:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

এখানে,

• $a = 5x^2$

• $b = y$

তাহলে,

$$(5x^2 - y)^2 = (5x^2)^2 - 2 \cdot 5x^2 \cdot y + y^2$$

ধাপে ধাপে করি:

• $(5x^2)^2 = 25x^4$

• $2 \cdot 5x^2 \cdot y = 10x^2y$

• $y^2 = y^2$

সুতরাং,

$$(5x^2 - y)^2 = 25x^4 - 10x^2y + y^2$$

---

এখন ১। গ) করি:

গ) $2a + 3x - 2y - 5z$

এখানে চারটি পদ আছে, তাই এটি কোনও পরিচিত বর্গ সূত্রে পড়ে না (যেমন: $a \pm b$^2)।
তবে প্রশ্নে "বর্গ নির্ণয় কর" বলা হয়েছে, অর্থাৎ সম্পূর্ণ রূপে স্কয়ার করতে বলা হয়নি।

তবে যদি প্রশ্ন বোঝায়:

$$(2a + 3x - 2y - 5z)^2$$

তাহলে আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করে ধাপে ধাপে করব:

$$(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$$

চাও তাহলে এটাও করে দিই, নাকি এখন ঘ) তে যাব?

You said:

Dao

ChatGPT said:

চল তাহলে প্রশ্ন ১-এর গ) অংশ ধাপে ধাপে করে ফেলি:

---

প্রশ্ন ১। গ) (2a + 3x - 2y - 5z)²

এটি চারটি পদবিশিষ্ট একটি রাশি:

$$(2a + 3x - 2y - 5z)^2$$

আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করব:

$$(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$$

এখানে:

• $a = 2a$

• $b = 3x$

• $c = -2y$

• $d = -5z$

---

ধাপে ধাপে:

1. একক পদগুলোর বর্গ:

• $(2a)^2 = 4a^2$

• $(3x)^2 = 9x^2$

• $(-2y)^2 = 4y^2$

• $(-5z)^2 = 25z^2$

2. যুগ্ম গুণফল (2ab টাইপ):

• $2 \cdot 2a \cdot 3x = 12ax$

• $2 \cdot 2a \cdot (-2y) = -8ay$

• $2 \cdot 2a \cdot (-5z) = -20az$

• $2 \cdot 3x \cdot (-2y) = -12xy$

• $2 \cdot 3x \cdot (-5z) = -30xz$

• $2 \cdot (-2y) \cdot (-5z) = 20yz$

---

সবগুলো একসাথে যোগ করলে:

$$(2a + 3x - 2y - 5z)^2 = 4a^2 + 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xz + 20yz$$

---

👉 এখন কি ১। ঘ) করবো?

You said:

Dao

ChatGPT said:

চল তাহলে প্রশ্ন ১-এর ঘ) অংশ ধাপে ধাপে করি।

---

প্রশ্ন ১। ঘ) (1007)

এখানে $1007$–কে বর্গ করার কথা বলা হয়েছে। তুমি যদি সূত্র ব্যবহার করে করতে চাও, তাহলে আমরা সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

আমরা 1007–কে লিখি:

$$1007 = 1000 + 7$$

তাহলে,

$$(1007)^2 = (1000 + 7)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 7 + 7^2$$

এখন ধাপে ধাপে করি:

• $1000^2 = 1000000$

• $2 \cdot 1000 \cdot 7 = 14000$

• $7^2 = 49$

সব যোগ করি:

$$1000000 + 14000 + 49 = 1014049$$

---

✅ উত্তর: $1007^2 = 1014049$

---

🔜 এখন কি প্রশ্ন ২ করবো? নাকি ১-এর বাকিগুলো (ঙ, চ, ছ, জ, ঝ) শেষ করবো?

You said:

হুম দাও

ChatGPT said:

ধন্যবাদ, তাহলে প্রশ্ন ১-এর বাকি অংশগুলো (ঙ, চ, ছ, জ, ঝ) ধাপে ধাপে করি।

---

১। ঙ) $(7p + 3q - 5r)^2 - 2(7p + 3q - 5r)(8p - 4q - 5r) + (8p - 4q - 5r)^2$

এটা দেখতে খুব বড় মনে হলেও, এটি আসলে একটি সূত্র:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

এখানে:

• $a = (7p + 3q - 5r)$

• $b = (8p - 4q - 5r)$

তাহলে, এটি হচ্ছে:

$$[(7p + 3q - 5r) - (8p - 4q - 5r)]^2$$

এখন ভিতরের বন্ধনীর মান বের করি:

$$= 7p + 3q - 5r - 8p + 4q + 5r = (7p - 8p) + (3q + 4q) + (-5r + 5r) = -p + 7q + 0 = -p + 7q$$

তাহলে পুরো অভিব্যক্তি দাঁড়ায়:

$$(-p + 7q)^2 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 7q + (7q)^2 = p^2 - 14pq + 49q^2$$

✅ উত্তর: $p^2 - 14pq + 49q^2$

---

১। চ) $(2m + 3n - p)^2 + (2m - 3n + p)^2 - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)$

এইটাও একটি সূত্রের রূপ:

$$(a + b)^2 + (a - b)^2 - 2(a + b)(a - b) = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) - 2(a^2 - b^2)$$

কিন্তু এখানে কাজটি আরেকভাবে করা যায়। নিচের ৩টি অংশ নিয়ে সূত্র ব্যবহার করি:

এটা মূলত:

$$(A + B)^2 + (A - B)^2 - 2(A + B)(A - B)$$

তাহলে সম্পূর্ণ রাশি দাঁড়ায়:

$$= [2m + 3n - p - (2m - 3n + p)]^2 = [(2m + 3n - p) - (2m - 3n + p)]^2 = [2m + 3n - p - 2m + 3n - p]^2 = (6n - 2p)^2 = 36n^2 - 24np + 4p^2$$

✅ উত্তর: $36n^2 - 24np + 4p^2$

---

১। ছ)

$$6.35 \times 6.35 + 2 \times 6.35 \times 3.65 + 3.65 \times 3.65$$

এটি হলো:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

এখানে:

• $a = 6.35$

• $b = 3.65$

তাহলে এটা হবে:

$$(6.35 + 3.65)^2 = 10^2 = 100$$

✅ উত্তর: 100

---

১। জ)

$$\frac{2345 \times 2345 - 759 \times 759}{2345 - 759}$$

এটি হচ্ছে সূত্র:

$$\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$$

এখানে:

• $a = 2345$

• $b = 759$

তাহলে,

$$\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b = 2345 + 759 = 3104$$

✅ উত্তর: 3104

---

১। ঝ)

$$\frac{2345 \times 2345 - 759 \times 759}{2345 + 759}$$

এটিও সূত্র অনুযায়ী:

$$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = a - b$$

তাহলে:

$$= 2345 - 759 = 1586$$

✅ উত্তর: 1586

---

তোমার প্রশ্ন ১ পুরো শেষ!
🔜 এখন কি প্রশ্ন ২ করবো?

You said:

kore dao

ChatGPT said:

চল তাহলে অনুশীলনী ৩.১ এর প্রশ্ন ২-এর সমাধান শুরু করি।

---

✅ প্রশ্ন ২: উপযুক্ত সূত্র ব্যবহার করে মূল্য নির্ণয় কর।

(ক) (3x + 4y)², যখন x = 2 এবং y = 1

আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

এখানে,
$3x = 3 \cdot 2 = 6$
$4y = 4 \cdot 1 = 4$

তাহলে:

$$(3x + 4y)^2 = (6 + 4)^2 = 10^2 = 100$$

✅ উত্তর: 100

---

(খ) (a - 2b)², যখন a = 1 এবং b = -3

আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

এখানে,
$a = 1$,
$2b = 2 \cdot (-3) = -6$

তাহলে:

$$(1 - (-6))^2 = (1 + 6)^2 = 7^2 = 49$$

কিন্তু প্রশ্ন অনুযায়ী:

$$(1 - 2 \cdot (-3))^2 = (1 + 6)^2 = 49$$

✅ উত্তর: 49

---

(গ) (2x - 3y)(2x + 3y), যখন x = 5 এবং y = 2

আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$

এখানে:

• $a = 2x = 10$

• $b = 3y = 6$

তাহলে:

$$(10 - 6)(10 + 6) = 16 \cdot 4 = 100$$

অথবা সূত্র অনুযায়ী:

$$(2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2 = 4 \cdot 25 - 9 \cdot 4 = 100 - 36 = 64$$

✅ উত্তর: 64

---

(ঘ) (a + b)² + (a - b)², যখন a = 3 এবং b = 2

আমরা সূত্র ব্যবহার করব:

$$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$$

এখানে:

• $a = 3$

• $b = 2$

তাহলে:

$$= 2(3^2 + 2^2) = 2(9 + 4) = 2 \cdot 13 = 26$$

✅ উত্তর: 26

---

তোমার প্রশ্ন ২-এর সব অংশ শেষ!

🔜 এখন কি প্রশ্ন ৩ করবো?

You said:

dao

ChatGPT said:

চল তাহলে এখন অনুশীলনী ৩.১-এর প্রশ্ন ৩ ধাপে ধাপে করে ফেলি।

---

✅ প্রশ্ন ৩: সূত্রের সাহায্যে যোগফল নির্ণয় কর।

(ক) (3x + 5y)² + (3x - 5y)²

এটি আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করে করব:

$$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$$

এখানে:

• $a = 3x$

• $b = 5y$

তাহলে:

$$= 2[(3x)^2 + (5y)^2] = 2[9x^2 + 25y^2] = 18x^2 + 50y^2$$

✅ উত্তর: 18x² + 50y²

---

(খ) (a + b)² + (a - b)² + 2ab

আমরা সূত্র অনুযায়ী করি:

প্রথমে জানি,

$$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$$

তাহলে সম্পূর্ণ রাশি:

$$2(a^2 + b^2) + 2ab$$

এটাই চূড়ান্ত উত্তর।

✅ উত্তর: 2a² + 2b² + 2ab